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  • Coordonnées polaires

    Formulaire de report


    Définition

    Coordonnées polaires : on définit un point par sa distance à l'origine \(r=\lVert\overrightarrow{OM}\rVert\) et par l'angle avec l'axe des abscisses \(\theta\in[0,2\pi[\)

    Passer d'une base cartésienne à une base polaire

    Relation de passage

    Propriétés

    Limite en base polaire

    Exercices

    Grâce aux coordonnées polaires, tracer la courbe définie implicitement par la relation : $$2xy(x^2+y^2)=x^2-y^2$$

    Remplacer \(x\) et \(y\) en utilisant les relations de passage
    On cherche les couples \((r,\theta)\) qui vérifient : $$2r\cos\theta r\sin\theta((r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2)=(r\cos\theta)^2-(r\sin\theta)^2$$

    Simplifier en utilisant des identités trigonométriques
    $$\implies r^4\sin(2\theta)=r^2\cos(2\theta)$$

    Résoudre l'équation en utilisant la définition de la tangente

    $$\begin{align}\implies&r^2\tan(2\theta)=1\\ \implies&\tan(2\theta)=\frac1{r^2}\\ \implies&\theta=\frac12\arctan\left(\frac1{r^2}\right)\end{align}$$

    (Relation de passage, Théorème de Pythagore, Formule générale de l'angle double, Fonction tangente, Arctangente)


    Calculer la limite $$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac x{x^2+y^2}$$

    Passer en coordonnées polaires
    $$\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac x{x^2+y^2}=\displaystyle\lim_{r\to0}\frac{r\cos\theta}{(r\cos\theta)^2+(r\sin\theta)^2}$$

    $$\lim_{r\to0^+}f(r,0)=\lim_{r\to0^+}\frac r{r^2+0^2}=\lim_{r\to0^+}\frac1r=+\infty$$$\(\lim_{r\to0^+}f(0,r)=\lim_{r\to0^+}\frac0{r^2}=0\)$
    Il y a deux limites différentes, donc \(f\) n'admet pas de limite en \((0,0)\)

    (Limite le long d'un chemin)



  • Rétroliens :
    • Limite en base polaire